Ecuaciones

¿Qué es una Ecuación?

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una (o más) incógnita. Normalmente, la incógnita es x. 

La incógnita x representa al número (o números), si existe, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es la solución de la ecuación.

Al cambiar la x por la solución, la igualdad debe ser cierta.

Ejemplo

x+2 = 2·x-1

• Si x es 0, la igualdad no se cumple porque 0+2  no es igual a 2·0-1.
• Si x es 3, la igualdad sí se cumple porque 3+2  es igual a 2·3-1.

La solución de la ecuación es x = 3.

Algunas cuestiones…

Algunas cuestiones que suelen hacerse los alumnos son las siguientes:

• ¿Todas las ecuaciones tienen solución?
• ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?
• ¿Cuántos tipos de ecuaciones hay?
• ¿Puede haber más de una incógnita?

Respuestas a las cuestiones:

• No todas las ecuaciones tienen solución. Por ejemplo, la ecuación x + 1 = x – 1 no tiene ninguna solución.
• Una ecuación puede tener 0 soluciones, 1 solución, 2 soluciones, 3 soluciones, etc. El número de ecuaciones depende del tipo de ecuación.
• Algunos tipos de ecuaciones son: ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones exponenciales, ecuaciones logarítmicas, ecuaciones irracionales, etc.
• Sí puede haber más de una incógnita en una ecuación, pero según el tipo de ecuación podremos o no resolverla.

Los monomios que suman a un lado pasan al otro lado restando y viceversa. 

Ejemplo 1

Tenemos que pasar las x‘s a un lado de la igualdad (izquierda, por ejemplo) y los números al otro lado (derecha).

En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:

Sumamos los monomios x+x del lado izquierdo:

En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:

Sumamos los monomios de la derecha:

El coeficiente que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al otro lado:

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.

Puede resultar de ayuda representar flechas mientras operamos en la ecuación.

Ejemplo 2

Sumamos (o restamos) los monomios con la misma parte literal (las x con x, los números con números). Los que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa.

Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 2.

Recordamos que la forma general de una ecuación cuadrática o de segundo grado es

donde a ≠ 0 , b y c los coeficientes.

Una ecuación cuadrática es completa cuando los coeficientes b y c también son distintos de 0.

Discriminante

Llamamos discriminante, Δ, de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 a

El signo del discriminante informa acerca del número de soluciones de la ecuación:

• Si Δ es 0, la ecuación tiene una única solución (de multiplicidad 2)
• Si Δ es menor que 0, no existen soluciones (reales)
• Si Δ es mayor que 0, existen dos soluciones (reales) distintas (de multiplicidad 1).

Soluciones

Las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado (en la forma anterior) vienen dadas por la fórmula cuadrática:

Ejemplo

Vamos a resolver la siguiente ecuación

Sólo tenemos que aplicar la fórmula:

Las dos soluciones de la ecuación son x = -1 y x = -2.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

En esta página vamos a explicar el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Normalmente, elegimos este método cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, pero de signo distinto, en ambas ecuaciones.

El método de reducción consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

 Veamos un ejemplo:

1. Escogemos una incógnita a eliminar: la y.

2. Sus coeficientes son -1 en la primera ecuación y 1 en la segunda. Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones para que desaparezca la incógnita.

3. Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:

4. Resolvemos la ecuación obtenida:

5. Calculamos la otra incógnita sustituyendo: sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:

La solución del sistema es

Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para conseguirlo.