REPASO

Ecuaciones

¿Qué es una Ecuación?

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una (o más) incógnita. Normalmente, la incógnita es x. 

La incógnita x representa al número (o números), si existe, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es la solución de la ecuación.

Al cambiar la x por la solución, la igualdad debe ser cierta.

Ejemplo

x+2 = 2·x-1

• Si x es 0, la igualdad no se cumple porque 0+2  no es igual a 2·0-1.
• Si x es 3, la igualdad sí se cumple porque 3+2  es igual a 2·3-1.

La solución de la ecuación es x = 3.

Algunas cuestiones…

Algunas cuestiones que suelen hacerse los alumnos son las siguientes:

• ¿Todas las ecuaciones tienen solución?
• ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?
• ¿Cuántos tipos de ecuaciones hay?
• ¿Puede haber más de una incógnita?

Respuestas a las cuestiones:

• No todas las ecuaciones tienen solución. Por ejemplo, la ecuación x + 1 = x – 1 no tiene ninguna solución.
• Una ecuación puede tener 0 soluciones, 1 solución, 2 soluciones, 3 soluciones, etc. El número de ecuaciones depende del tipo de ecuación.
• Algunos tipos de ecuaciones son: ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones exponenciales, ecuaciones logarítmicas, ecuaciones irracionales, etc.
• Sí puede haber más de una incógnita en una ecuación, pero según el tipo de ecuación podremos o no resolverla.

Los monomios que suman a un lado pasan al otro lado restando y viceversa. 

Ejemplo 1

Tenemos que pasar las x‘s a un lado de la igualdad (izquierda, por ejemplo) y los números al otro lado (derecha).

En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:

Sumamos los monomios x+x del lado izquierdo:

En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:

Sumamos los monomios de la derecha:

El coeficiente que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al otro lado:

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.

Puede resultar de ayuda representar flechas mientras operamos en la ecuación.

Ejemplo 2

Sumamos (o restamos) los monomios con la misma parte literal (las x con x, los números con números). Los que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa.

Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 2.

Recordamos que la forma general de una ecuación cuadrática o de segundo grado es

donde a ≠ 0 , b y c los coeficientes.

Una ecuación cuadrática es completa cuando los coeficientes b y c también son distintos de 0.

Discriminante

Llamamos discriminante, Δ, de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 a

El signo del discriminante informa acerca del número de soluciones de la ecuación:

• Si Δ es 0, la ecuación tiene una única solución (de multiplicidad 2)
• Si Δ es menor que 0, no existen soluciones (reales)
• Si Δ es mayor que 0, existen dos soluciones (reales) distintas (de multiplicidad 1).

Soluciones

Las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado (en la forma anterior) vienen dadas por la fórmula cuadrática:

Ejemplo

Vamos a resolver la siguiente ecuación

Sólo tenemos que aplicar la fórmula:

Las dos soluciones de la ecuación son x = -1 y x = -2.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

En esta página vamos a explicar el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Normalmente, elegimos este método cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, pero de signo distinto, en ambas ecuaciones.

El método de reducción consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

 Veamos un ejemplo:

1. Escogemos una incógnita a eliminar: la y.

2. Sus coeficientes son -1 en la primera ecuación y 1 en la segunda. Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones para que desaparezca la incógnita.

3. Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:

4. Resolvemos la ecuación obtenida:

5. Calculamos la otra incógnita sustituyendo: sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:

La solución del sistema es

Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para conseguirlo.

Multiplicación y División de Polinomios

Copiar en su cuaderno lo mas importante

https://www.matesfacil.com/ESO/polinomios/multiplicar-polinomios-binomios-trinomios-producto-multiplicacion-ejercicios-resueltos.html


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OTRA FORMA DE HACERLO ES:

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Algebra. Suma y Resta Algebraica

Definición de Álgebra:

«Definimos el ÁLGEBRA como la rama de las matemáticas en la que se usan letras, números o símbolos para representar relaciones aritméticas».

El Álgebra constituye la base sobre la que se apoyan las Matemáticas, muy bien podría considerarse como el idioma universal de la civilización.

Al igual que la Aritmética, las operaciones fundamentales del Álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división potenciación y radicación.

La Aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado igual a la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado igual a los catetos.

La Aritmética sólo da casos particulares de esta relación, por ejemplo: 3; 4 y 5 ya que: 3² + 4² = 5² .

El Álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema:

a² + b² = c²

Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2.

Por ejemplo, la notación de 3*3 es 3²; de la misma manera, a*a es igual que a².

¿Sabías qué?:

La Palabra Álgebra viene de un libro escrito en año 830 por el matemático Mohamed ibn Musa Al-Khwarizmi, titulado Al – jabr w‘al muqábala, que significa restauración y simplificación.

Además la imagen de Al-Khwarizmi es el retrato de la portada del libro: Álgebra de Baldor.

El Álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El Álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas y los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan.

Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es: «El Álgebra es el idioma de las matemáticas«. Para conocer más sobre los inicio y evolución del Álgebra le recomendamos leer: Historia del Álgebra.

Finalmente, mencionar que esta página pretende acercarse al estudiante con un lenguaje claro y sencillo buscando desarrollar el razonamiento deductivo y su destreza en la resolución de ejercicios. Es así que nos esforzamos en cada publicación para traerles lo mejor de los temas básicos del Álgebra.

Suma y resta de expresiones algebraicas

De la misma manera que en aritmética podemos realizar operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias y radicales, en Álgebra también es posible realizar estas mismas operaciones.  Aun cuando las leyes que rigen al Álgebra son las mismas que las de la Áritmética, es necesario conocer los procedimientos que se siguen para resolver estas operaciones. 

• Suma y Resta de monomios

Juntar términos semejantes en uno solo sirve para simplificar y hacer más comprensible una expresión algebraica. Por ello, siempre será recomendable revisar si en una expresión algebraica hay términos semejantes.

Aquí te mostramos un ejemplo:

En este otro apartado podrás encontrar ejercicios:

• Suma de polinomios 

La suma de polinomios se realiza de la misma manera que una suma aritmética, se acomoda cada una de las operaciones y se efectúan las operaciones. Solo utilizando la ley de signos. 

• Resta de polinomios

Para restar polinomios se sigue el mismo procedimiento que en la suma, solo debemos tener presente que en la resta debemos cambiar los signos al sustraendo.

Ejemplos:
5x menos 3x: 2x
El término 3x tiene signo positivo aunque no lo lleve escrito. 

Al escribir el signo de la resta, se convierte en negativo y queda +5x – 3x, cuyo resultado es 2x.

7m menos -4m: 7m + 4m = 11m
El signo – antes de un paréntesis cambia el signo de las expresiones que están dentro, como en este caso (- 4m) se convierte en +4m

6r – (-5r) = 6r + 5r = 11r
Nótese que – 5r cambio a +5r 

Operaciones combinadas con potencias

COPIAR EL EJERCICIO
DESARROLLAR LAS POTENCIAS

Ejercicio 1 resuelto

 Escribe en forma de una sola potencia:

 1 3³ · 34 · 3 = 38

 Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 2 57 : 5³ = 54

 Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 3 (5³)4 = 512

 Para hallar la potencia de una potencia multiplicamos los exponentes

 4 (5 · 2 · 3)4 = 304

 5(34)4 = 316

 6 [(5³)4]² = (512)² = 524

 7 (8²)³ =[( 2³)²]³ = (26)³ = 218

 8 (9³)² = [(3²)³]² = (36)² = 312

 9 25 · 24 · 2 = 210

 10 27 : 26 = 2

 11 (2²)4 = 28

 12 (4 · 2 · 3)4 = 244

 13(25)4 = 220

 14 [(2³)4]0 = (212)0 = 20 = 1

 15 (27²)5 =[(3³)²]5 = (36)5 = 330

 Descomponemos en factores 27 = 3³

 16 (4³)² = [(2²)³]² = (26)² = 212

 Descomponemos en factores 4 = 2²

  

Ejercicio 2 resuelto

 Realizar las siguientes operaciones con potencias:

 1 (−2)² · (−2)³ · (−2)4 = (−2)9 = −512

 El resultado tendrá signo negativo porque la base es negativa y el exponente es impar

 2 (−8) · (−2)² · (−2)0 (−2) = (−2)³ · (−2)² · (−2)0 · (−2) = (−2)6 = 64

 Primero hemos descompuesto 8 en factores

 El resultado tendrá signo positivo porque la base es negativa y el exponente es par

 3 (−2)−2 · (−2)³ · (−2)4 = (−2)5 = −32

 4 2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2

 Al ser negativo el exponente tenemos que tomar el inverso de la base

 5 2² : 2³ = 2−1 = 1/2